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By Antoine Chambert-Loir

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Tout d’abord, f (s i s j s−1 i s j ) = e i + e j − e i − e j = 0, donc R ⊂ Ker( f ) et f définit, par passage au quotient, un homomorphisme de groupes f¯ de G(S; R) sur Zn , surjectif. Pour démontrer que f¯ est injectif, on démontre que c’est un isomorphisme et, pour cela, on exhibe son inverse. Considérons l’application g de Zn dans G(S; R) qui applique (m1 , . . , m n ) sur x1m1 . . x nm n . Démontrons que g est un homomorphisme de groupes. Le groupe G(S; R) est engendré par les images x1 , .

Il existe un unique morphisme de monoïdes φ ∶ M(S) → A tel que φ ○ j = f . Démonstration. — Définissons une application φ ∶ M(S) → A en posant φ(x) = f (s1 ) . . f (s n ) pour x = (s1 , . . , s n ) ∈ M(S). On a φ(ε) = e ; si x = (s1 , . . , s m ) et y = (t1 , . . , t n ) sont des éléments de M(S), on a x y = (s1 , . . , s m , t1 , . . , t n ), d’où φ(x y) = φ((s1 , . . , s m , t1 , . . , t n )) = f (s1 ) . . f (s m ) f (t1 ) . . f (t n ) = φ(x)φ(y). Cela prouve que φ est un morphisme de monoïdes.

8. GROUPES ET MONOÏDES LIBRES, COPRODUITS 47 Démonstration (van der Waerden). — Soit M′ (S)0 l’ensemble des mots réduits de M′ (S). On va faire opérer S dans M′ (S)0 de la façon suivante. Soit s ∈ S et soit m = (m1 , . . , m n ) ∈ M′ (S)0 ; – Si m1 = s′ , on pose s ⋅ m = (m2 , . . , m n ) ; – Si m1 ≠ s′ , on pose s ⋅ m = (s, m1 , . . , m n ). On remarque d’abord que s ⋅ m ∈ M′ (S)0 pour tout s ∈ S et tout m ∈ M′ (S)0 . Fixons alors s ∈ S et vérifions que l’application m ↦ s ⋅ m est une permutation de M′ (S)0 .

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